НОВАЯ ПАРАДИГМА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ПРЕМЬЕР-МИНИСТРА ФРАНЦИИ И "РАСЧЕТ НА НЕУСПЕХ" - АРМЯНСКИЙ ФИЗИК

Когда в 2003 году физик-теоретик Артур Ишханян сделал несколько "незначительных", по его словам, шагов в изучении функций Гойна, он и не предполагал, что это может привести к прорыву. Когда год спустя его имя появилось в обзоре по специальным функциям, составленном известными американскими математиками, армянский ученый был удивлен, что его результатам придали такое значение.

ПОНИМАНИЕ ТОГО, ЧТО ИМЕННО СТОЛЬ ВАЖНО в полученных результатах, пришло к нему лишь в 2014 году. А в 2015 году ему удалось решить ряд задач квантовой механики, которыми физики занимались на протяжении многих лет.

"В 2015 году мне удалось сделать важный шаг. Он дал возможность сразу решить большое количество задач. Например, я получил множество новых решений уравнения Шредингера. Для сравнения могу сказать, что за 90 лет истории квантовой механики было найдено всего 5 решаемых моделей для потенциалов, среди них – атом водорода и гармонический осциллятор. Мне удалось найти еще 5 таких моделей. Решаемых "условно" случаев было найдено порядка 25-и, мне удалось найти около 300. Намного больше, чем до этого, при том, что решением уравнения Шредингера занимались многие видные ученые 20-го века", - рассказывает академик секретарь Национальной академии наук Армении, заведующий лабораторией физики материальных волн Института физических исследований (Аштарак) Артур Ишханян.

"Отношения" Артура Ишханяна и функций Гойна имеют давнюю историю, с постоянным возвращением к теме после очередной серии неудач в течение трех с половиной десятков лет. Но 2015 год стал прорывным. Его подход получил международное признание, был оценен как новое слово, новая парадигма.

Как поясняет ученый, теоретические модели в физике и математике часто описываются дифференциальными уравнениями, которые делятся на два класса – линейные и нелинейные. Важнейшая сфера, описываемая линейными уравнениями – это квантовая механика, и, например, уравнение Шредингера - типичное линейное уравнение. Нелинейными дифференциальными уравнениями описывается, к примеру, механика Ньютона. Уравнения Гойна – это также линейные дифференциальные уравнения (функции Гойна – решения данных уравнений). Немецкий математик Карл Гойн написал первое (общее) уравнение еще 100 лет назад, и на заре квантовой механики оно могло стать предметом серьезного изучения, но тот факт, что один из его вариантов решался старыми инструментами, сыграл двойственную роль в развитии данной сферы - на уравнение Гойна не обратили должного внимания.

До 21-го века самыми популярными линейными уравнениями для описания физических процессов были гипергеометрические уравнения. Но с развитием физики были открыты новые явления, для описания которых они уже не подходили. И здесь могут помочь уравнения Гойна, решения которых математически очень сложные, но и очень сильные.

"ЯВЛЕНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ГОЙНА, как правило, содержат в себе новую физику, они не укладываются в рамки прежних представлений. Как, например, аномалии Вуда, когда падающий под определенным углом свет не проходит и не отражается, а преображается в распространяющуюся по поверхности волну. Второй известный пример – черная дыра, когда вещество уплотняется настолько, что под воздействием гравитационного поля даже свет не может выйти за пределы черной дыры", - говорит ученый.

Параллельно развитию теории линейных уравнений в начале прошлого столетия математик Поль Пенлеве изучал некоторые специальные нелинейные уравнения, которые впоследствии были названы его именем. Кстати Пенлеве – не только известный математик, но и политический деятель, помимо президента академии наук Франции он был также военным министром и ответственным за создание известной линии Мажино, а также дважды занимал пост премьер-министра страны.

Интересно, что, как и в случае с функциями Гойна (которых 5), 6 трансцендентов Пенлеве в течение 20-го века также "не пользовались особой популярностью".

"Функции Пенлеве такие же сложные, как и функции Гойна, и достижений в их изучении немного. В начале прошлого века математик Рихард Фукс заметил, что 6-ую функцию Пенлеве и первую (общую) функцию Гойна можно неким странным образом связать. На это не обратили особого внимания до тех пор, пока в 1970-ых годах были найдены сложные связи", - рассказывает ученый.

Возник вопрос: возможен ли успех также и в вопросе изучения функций Пенлеве? Ведь они описывают другой наш мир, нелинейный, который гораздо больше линейного. Совместно с группой польских ученых под руководством Яна Дерезинского Артур Ишханян провел большую работу по исследованию связей между функциями Гойна и Пенлеве и в 2021 году была опубликована статья в журнале SIGMA (J. Dereziński, A. Ishkhanyan, and A. Latosiński, "From Heun class equations to Painlevé equations").

Через некоторое время после выхода этой статьи Комитет науки Армении объявил грантовую программу по поддержке передовых исследований. Команда Артура Ишханяна – одна из грантополучателей данной программы и тема ее исследований: "Функции Гойна и трансценденты Пенлеве: применения в физике и математике".

В СОСТАВЕ ГРУППЫ ЧЕТВЕРО МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ, которые защитили диссертацию за последние пять лет – Тигран Ишханян, Мариам Геворкян, Арамаис Арутюнян и Ваге Манукян, и двое аспирантов – Астгик Казарян и Арег Кочарян.

Кстати, когда в 2015 году вышла в свет одна из статей Артура Ишханяна по уравнениям Гойна, с ним связались из Wolfram Research, чтобы включить предложенные им решения во всемирно известную компьютерную программу Wolfram Mathematica. Один из членов группы – Тигран Ишханян –занялся решением данной проблемы, и уже два года, как функции Гойна включены в программу. Теперь в планах включить в нее и трансценденты Пенлеве – это часть нового проекта группы.

Надо отметить, что группа Артура Ишханяна выделяется в списке грантополучателей по программе поддержки передовых исследований высоким показателем публикаций (в среднем 10 статей в год за последние 10 лет). Группа широко сотрудничает с учеными из разных стран мира, и помимо финансирования в рамках данной программы имеет еще несколько международных грантов. Так что, молодые ученые и аспиранты, включенные в группу, получают довольно хорошую зарплату по сегодняшним армянским меркам.

По словам Артура Ишханяна, проект состоит из двух частей: первая - развитие теории функций Гойна, вторая – Пенлеве. Но можно и иначе разделить его на две части: математическую и физическую. В математической части по функциям Гойна задачу можно считать выполненной. Чего не скажешь об уравнениях Пенлеве, здесь есть довольно большой риск.

"Как сказал бы Ландау, это тот случай, когда каждый из нас "может рассчитывать на неуспех". Но я должен сказать, что программа поддержки передовых исследований так и предполагает, что должен быть хороший задел по ранее проведенным исследованиям, а также некоторые рискованные и прорывные задачи. В случае успеха нас ждет прорыв и по функциям Пенлеве", - говорит он.

Как бы то ни было, в течение пяти лет группа планирует с применением функций Гойна и Пенлеве изучить ряд задач физики и математики, четыре из которых – очень претенциозные: логистическое отображение (прикладная математика), нейтринные колебания (физика элементарных частиц), физика черных дыр (астрофизика) и крупномасштабная структура Вселенной (космология).

Анаит САРКИСЯН

Новости Армении - NEWS.am