ՆՈՐ ՊԱՐԱԴԻԳՄԸ, ՖՐԱՆՍԻԱՅԻ ՎԱՐՉԱՊԵՏԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ «ԱՆՀԱՋՈՂՈՒԹՅԱՆ ԱԿՆԿԱԼԻՔԸ»

Երբ 2003 թվականին տեսաբան ֆիզիկոս Արթուր Իշխանյանը, մի քանի, իր խոսքով, «աննշան» քայլ կատարեց Հոյնի ֆունկցիաների հետազոտման բնագավառում, չէր էլ ենթադրում, որ դրանք կարող են բեկումնային լինել։ Երբ մեկ տարի անց իր անունը հայտնվեց ամերիկացի մաթեմատիկոսների՝հատուկ ֆունկցիաներին նվիրված ամփոփման մեջ, հայ գիտնականը զարմացավ, որ իր արդյունքներին այդպիսի նշանակություն են տվել։

Թե ինչն էր այդ արդյունքներում այդքան կարեվոր, նա գիտակցեց տարիներ անց, 2014 թվականին, իսկ մեկ տարի անց կարողացավ լուծել քվանտային մեխանիկայի մի շարք խնդիրներ, որոնց լուծմամբ ֆիզիկոսները զբաղվում էին երկար տարիներ։

«2015 թվականին ես կարողացա անել մի կարևոր քայլ։ Այդ քայլը հնարավորություն տվեց միանգամից լուծել բազմաթիվ խնդիրներ։ Օրինակ, Շրյոդինգերի հավասարման բազմաթիվ նոր լուծումներ ստացա։ Համեմատության համար ասեմ, որ քվանտային մեխանիկայի պատմության 90 տարվա ընթացքում պոտենցիալների համար ընդամենը 5 լուծվող մոդել էին գտել, որոնց թվում են ջրածնի ատոմը, հարմոնիկ օսցիլատորը և այլն։ Ինձ հաջողվեց գտնել ևս հինգը։ Կիսալուծվող դեպքեր գտել էին մոտ 25, ինձ հաջողվեց գտնել մոտ 300։ Ավելի շատ, քան արվել էր մինչ այդ, այն դեպքում, երբ Շրյոդինգերի հավասարման լուծմամբ զբաղվել են 20-րդ դարի նշանավոր շատ գիտնականներ», - պատմում է ՀՀ ԳԱԱ ակադեմիկոս քարտուղար, ֆիզիկական հետազոտությունների ինստիտուտի «Նյութական ալիքների ֆիզիկայի» լաբորատորիայի վարիչ Արթուր Իշխանյանը։

Արթուր Իշխանյանի և Հոյնի ֆունկցիաների «հարաբերությունները» վաղեմի պատմություն ունեն՝ երեքուկես տասնամյակի ընթացքում պարբերական վերադարձեր թեմային ՝անհաջողությունների հերթական փուլից հետո։ Բայց 2015 թվականը դարձավ բեկումնային։ Նրա մոտեցումը ստացավ միջազգային ճանաչում, այն գնահատեցին որպես «նոր խոսք» և «նոր պարադիգմ»։

Ինչպես պարզաբանում է գիտնականը, ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի տեսական մոդելները հաճախ նկարագրվում են դիֆերենցիալ հավասարումներով, որոնք բաժանվում են երկու դասի՝ գծային և ոչ գծային։ Գծային հավասարումներով նկարագրվող կարևորագույն բնագավառը քվանտային մեխանիկան է։Օրինակ, Շրյոդինգերի հավասարումը տիպիկ գծային հավասարում է։ Իսկ ոչ գծային հավասարումներով նկարագրվում է,դիցուք, նյուտոնյան մեխանիկան։

Հոյնի հավասարումները ևս գծային դիֆերենցիալ հավասարումներեն (Հոյնի ֆունկցիաներն այդ հավասարումների լուծումներն են)։ Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Հոյնը գրել է առաջին (ընդհանուր) հավասարումը դեռ 100 տարի առաջ, և քվանտային մեխանիկայի արշալույսին այն կարող էր դառնալ լուրջ ուսումնասիրման առարկա, բայց այն փաստը, որ այդ հավասարման տարբերակներիցմեկը լուծվում էր հին գործիքներով, երկակի դեր խաղաց այդ ոլորտի համար։ Հոյնի հավասարմանը պատշաճ ուշադրություն չդարձրեցին։

Մինչև 21-րդ դարը ֆիզիկական պրոցեսների նկարագրման համար ամենաշատ կիրառություն ունեին հիպերերկրաչափական գծային դիֆերենցիալ հավասարումները։ Բայց ֆիզիկայի զարգացման ընթացքում բացահայտվեցին նոր երևույթներ, որոնց նկարագրության համար այդ հավասարումներն արդեն կիրառելի չէին։ Այստեղ է, որ կարող են օգնել Հոյնի հավասարումները, որոնցլուծումները մաթեմատիկորեն 10 և ավել անգամ բարդ են, բայց և շատ ավելի ուժեղ են։

«Այն երեվույթները, որոնք նկարագրվում են Հոյնի հավասարումներով, սովորաբար իրենց մեջ նոր ֆիզիկա են պարունակում, որոնք չեն տեղավորվում նախորդ պատկերացումների շրջանակում։ Ինչպես, օրինակ, Վուդի անոմալիաները, երբ որոշակի անկյան տակ ընկնող լույսը չի անցնում և չի անդրադարձվում, այլ վերածվում է մակերևույթով տարածվող ալիքի։ Երկրորդ հռչակավոր օրինակը սև խոռոչներն են, երբ նյութը խտանում է այնքան, որ գրավիտացիոն դաշտով պայմանավորված անգամ լույսը չի կարող դուրս գալխոռոչի սահմաններից», - ասում է գիտնականը։

Գծային հավասարումների տեսության զարգացմանը զուգընթաց, անցյալ դարասկզբին մաթեմատիկոս Պոլ Պենլևեն ուսումնասիրում էր որոշ հատուկ ոչ գծային հավասարումներ, որոնք հետագայում կոչվեցին իր անունով։ Ի դեպ, Պենլևեն ոչ միայն հռչակավոր մաթեմատիկոս է, այլև քղաքական գործիչ՝ Ֆրանսիայի գիտությունների ակադեմիան նախագահելուց բացի նա որոշ ժամանակ եղել է ռազմական նախարար՝ Մաժինոյի հռչակավոր գծի կառուցման պատասխանատու, ինչպես նաև երկու անգամ զաբաղեցրել է երկրի վարչապետի պաշտոնը։

Հետաքրքիր է, որ ինչպես և Հոյնի ֆունկցիաների դեպքում (որոնք 5-ն են), Պենլևեի 6 տրանսեցեդենտները 20-րդ դարի ընթացքում ևս «մեծ ժողովրդականություն չէին վայելում»։

«Հոյնի ֆունկցիաների նման բարդ ֆունկցիաներ են, և հաջողությունները դրանց ուսումնասիրման գործում շատ չեն։ Անցած դարասկզբին Ռիխարդ Ֆուքսը նկատել էր, որ Պենլևեի 6-րդ ֆունկցիան և Հոյնի առաջին (ընդհանուր) ֆունկցիան ինչ-որ տարօրինակ ձևով հնարավոր է իրար հետ կապել։ Դրան առանձնապես ուշադրություն չէին դարձրել, մինչև որ անցյալ դարի 70-ականներին գտան բարդ կապեր», - պատմում է Արթուր Իշխանյանը։

Հարց ծագեց՝ հնարավո՞ր է Պենլևեի ֆունկցիաների ուսումնասիրման հարցումնույնպես գրանցել հաջողություն։ Չէ՞ որ դրանք նկարագրում են մեր մյուս աշխարհը՝ ոչ գծային, որն անհամեմատ ավելի մեծ է, քան գծայինը։ Ժան Դերեզինսկու ղեկավարությամբ լեհ մաթեմատիկոսների հետ համատեղ նա ուսումնասիրեց Հոյնի և Պենլևեի ֆունկցիաների կապերը, ինչի արդյունքում 2021 թվականին տպագրվեց հոդված SIGMA ամսագրում (J. Dereziński, A. Ishkhanyan, and A. Latosiński, "From Heun class equations to Painlevé equations")։

Հոդվածի լույս տեսնելուց որոշ ժամանակ անցՀայաստանի գիտության կոմիտեն հայտարարեց առաջատար հետազոտությունների աջակցության դրամաշնրհային ծրագիրը։ Արթուր Իշխանյանի ղեկավարած խումբը այդ դրամաշնորհը ստացողների ցանկում է, և հետազոտությունների թեման է․ «Հոյնի ֆունկցիաներ և Պենլևեի տրանսցեդենտներ․ կիրառություններ ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում»։

Խմբի կազմում ընդգրկված են վերջին 5 տարում թեկնածուական թեզ պաշտպանած 4 երիտասարդ գիտնականներ՝ Տիգրան Իշխանյանը, Մարիամ Գևորգյանը, Արամայիս Հարությունայնը և Վահե Մանուկյանը, և երկու ասպիրանտ՝ Աստղիկ Ղազարյանը և Արեգ Քոչարյանը։

Ի դեպ, երբ 2015 թվականին լույս տեսավ Արթուր Իշխանյանի հոդվածներից մեկը Հոյնի հավասարումների վերաբերյալ, նրա հետ կապ հաստատեցին Wolfram Research ընկերությունից՝ նրա առաջարկած լուծումները հայտնի Wolfram Mathematica համակարգչային ծրագրի մեջ ընդգրկելու համար։ Հետագայումխմբի անդամներից Տիգրան Իշխանյանը զբաղվեց այդ խնդրի լուծմամբ, և երկու տարի է ինչ Հոյնի ֆունկցիաներն արդեն ընդգրկված են Mathematica ծրագրում։Այժմ մտադրություն կա Mathematica-ում ներդնել նաև Պենլևեի տրանսցենդենտները՝ դա նախագծի մի մասն է։

Հարկ է նշել, որ Արթուր Իշխանյանի խումբը առաջատար հետազոտությունների աջակցության ծրագրով դրամաշնորհ ստացած խմբերի մեջ ունի հրապարակումների բարձր ցուցանիշ (վերջին տասնամյակում՝ միջինում 10 հոդված մեկ տարում), լայնորեն համագործակցում է տարբեր երկրների գիտնականների հետ, և այս ծրագրով ֆինանսավորումից բացի ստացել է նաև մի քանի միջազգային դրամաշնորհ։ Այնպես որ, խմբում ներառված երիտասարդ գիտնականներն ու ասպիրանտները այսօրվա հայաստանյան չափանիշներով բավականին լավ են վարձատրվում։

Ըստ Արթուր Իշխանյանի, նախագիծը բաղկացած է երկու մասից։ Մեկը՝ Հոյնի ֆունկցիաների տեսության զարգացումն է, մյուսը՝ Պենլևեի։ Բայց նախագիծը կարելի է նաև այլ կերպ բաժանել երկու մասի՝ մաթեմատիկական և ֆիզիկական։ Մաթեմատիկական մասում Հոյնի ֆունկցիաների պարագայում խնդիրը կարելի է համարել լուծված։ Պենլևեի հավասարումների դեպքում մաթեմատիկական մասը բավական ռիսկային է։

«Ինչպես կասեր Լանդաուն, սա այն դեպքն է, երբ մեզանից յուրաքանչյուրը «կարող է ակնկալել անհաջողություն». Բայց պետք է ասեմ, որ առաջատար հետազոտությունների աջակցության ծրագիրը հենց այդպես էլ ենթադրում է, որ պիտի լինենգիտական արդյունքների լավ պաշար և որոշակի ռիսկային ու բեկումնային ծրագրեր։ Եթե հաջողենք, ապա Պենլևեի ֆունկցիաների պարագայում ևս բեկում կլինի», - ասում է նա։

Ինչևէ, 5 տարվա ընթացքում խումբը պլանավորում է Հոյնի և Պենլևեի ֆունկցիաների կիրառմամբ հետազոտել մի շարք Ֆիզիկական և մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնցից 4-ը շատ հավակնոտ են՝ լոգիստական արտապատկերում (կիրառական մաթեմատիկա), նեյտրինային տատանումներ (տարրական մասնիկների ֆիզիկա), սև խոռոչների ֆիզիկա (աստղաֆիզիկա) և տիեզերքի մեծամասշտաբ կառուցվածքը (տիեզերաբանություն)։

Անահիտ Սարգսյան, News.am